Analyse av variasjon (ANOVA)
Denne artikkelen vil være opptatt av anvendelse av analyse av varians til det viktige og ofte oppstått problemet med å bestemme betydningen av forskjellen mellom midler.
Varians, i vanlig forstand, er et mål for spredning av et sett av poeng. Det beskriver i hvilken grad resultatene avviger fra hverandre. Det er definert som gjennomsnittet av den kvadratiske avviken av individuelle score tatt fra gjennomsnittet.
hvor x = X - M eller avvik av poengsummen fra gjennomsnittet, dvs. varians = kvadrat av SD
eller varians = σ 2 så σ =
Et mål på varians gir oss en ide om homogeniteten til gruppen. Variansen i settet av score vil være mindre der gruppen er homogen i prestasjon. På den annen side vil variansen av settet av poeng være mer, hvis gruppen er heterogen i prestasjon.
Analysen av variansen er en svært nyttig enhet for å analysere resultatene av vitenskapelige henvendelser, forskning i samfunnsvitenskapelige og fysiske fag. For å få svar på forskningsspørsmål i eksperimentelle studier eller for å teste hypotesene, blir variansen analysert i forskjellige komponenter, og avvik fra ulike kilder blir sammenlignet. I forskning møter vi ulike eksperimentelle design, og vi formulerer null hypoteser.
Vi benytter teknikken til "variansanalyse" (ANOVA eller ANOVAR) for å undersøke om variansforholdet (F) er signifikant eller ikke, og basert på det null hypotesen er enten akseptert eller avvist.
Begrepet varians og ANOVA er avklart gjennom et eksempel.
Eksempel 1:
Beregn variansen av følgende fordeling av score 4, 6, 3, 7, 5.
Her kalles uttrykket Zx 2 "Summen av firkanter av avvik av score fra gjennomsnittet" (kortfattet SS). Når SS er delt med totalt antall poeng (N), får vi "Mean square" eller MS. Dermed er varians også kalt Mean square. symbolsk
V = MS, eller V = SS / N
En varians i ANOVAs terminologi kalles ofte et "Mean square" (eller MS). I Analyse av Varians (ANOVA) beregnes Middelfirkant eller varians ved å dividere SS ved df . Og dermed
Variansens komponenter:
Før du går gjennom detaljerte beregninger av varians, er det nødvendig å ha et blikk på to av komponentene, nemlig:
(a) Systematisk varians, og
(b) Feilvariasjon.
(a) Systematisk variasjon:
Systematisk varianse, i en eksperimentell oppsett, er den delen av variansen som kan tilskrives manipulering av eksperimentell variabel, dvs. uavhengig variabel.
For eksempel ønsker en etterforsker å studere effekten av motivasjon, dvs. verbal belønning og anerkjennelse på akademisk oppnåelse av to like grupper. Han velger to homogene grupper og manipulerer verbal belønning til en gruppe og anerkjennelse til en annen gruppe. Deretter administrerer han en test til begge gruppene og får sine poeng.
(Her er "Motivasjon" den uavhengige variabelen og "oppnådd score" er den avhengige variabelen). Når variansen av alle scoreene av to grupper beregnes, kalles den som total varians (V t ). Den delen av den totale variansen som kan tilskrives "manipulering av motivasjon", kan bare betegnes som "systematisk variasjon". Dette er variansen mellom grupper (eller V b ).
(b) Feilvariasjon:
Foruten effekten av eksperimentelle variabler er det også andre kilder til variasjon på grunn av fremmede variabler som kan påvirke avhengig variabel.
Dermed er feilvariasjon den delen av den totale variansen som kan tilskrives andre ukontrollerte kilder til variasjon i et eksperiment.
Feilvarianter kommer fra forskjellige kilder, for eksempel:
1. Ukontrollerte kilder til variasjon som følge av fremmede variabler.
2. Inherent variabilitet i forsøksenhetene.
3. Tilfeldige svingninger i eksperimentet.
4. Feilmålinger på grunn av mangel på
(a) Standard eksperimentelle teknikker;
(b) Enhetlighet i administrasjon;
(c) Fysisk oppførsel av eksperiment
(d) Forløpende emosjonell tilstand av fagene, etc.
Symbolisk Feilvariananse uttrykkes som V e . I eksemplet ovenfor er vi hovedsakelig opptatt av to variabler, nemlig motivasjon som uavhengig variabel og prestasjonspoeng som avhengig variabel.
Foruten disse to variablene møter forskeren andre variabler som påvirker den avhengige variabelen. Slike andre variabler kan være som kjønn, intelligensnivå, sosialøkonomisk status, alder, utdanning etc. som etterforskeren ikke har tatt vare på.
Slike variabler som ikke styres i en eksperimentell oppsett og påvirker forekomsten av avhengig variabel, kalles "utenlandske variabler" eller "irrelevante variabler".
Når disse variablene styres i et eksperiment, kan eksperimentelle feil minimeres. Hvis disse utenlandske variablene ikke styres, danner den delen av feilvariasjonen. "Den viktigste funksjonen til eksperimentell design er å maksimere systematisk varians, kontrollere utenlandske kilder til varians og minimere feilvariasjon." Således vil alle etterforskere redusere eksperimentelle feil.
For å minimere feilvariasjoner kan følgende måter brukes:
1. Ekstra variabler kan styres av:
en. randomisering,
b. eliminering,
c. Matchende,
d. Ved å introdusere ekstra uavhengig variabel eller variabler, og
e. Ved statistisk kontroll.
2. Målefeil kan styres av :
en. Ved hjelp av standardiserte eksperimentelle teknikker,
b. Bruke pålitelige måleinstrumenter,
c. Sikre ensartethet i administrasjon eller oppførsel av eksperiment,
d. Øke påliteligheten av målingen ved å gi klare og entydige instruksjoner, etc.
Ovennevnte diskusjon bekrefter oss å konkludere med at totalvariasjon utgjør to deler, dvs.
V t = V b + V e
hvor V t = total varians
V b = mellomgruppevarians (eller systematisk varians)
V e = feilvariasjon.
I ANOVA studeres den systematiske variansen mot feilvariasjonen ved F-test.
Den største verdien av F, jo større er sannsynligheten for at den systematiske variansen er større enn eksperimentell feil (innenfor gruppevarians eller individuelle variasjoner).
Et numerisk eksempel kan skille mellom systematisk varians og feilvariasjon.
Eksempel 2:
En etterforsker tildeler ti studenter tilfeldig til to grupper (fem i hver gruppe) og manipulerer to behandlinger av motivasjon til disse to gruppene tilfeldig.
Deretter administrerer etterforsker en prøve og noterer ned scoreene på ti studenter som angitt nedenfor:
Det er nå observert at middelene til to grupper er forskjellige. Det vil si, vi finner mellom gruppevarianter. Mellomgruppevariansen (Vb) kan beregnes som følger. La oss ta middelene 5 og 7 som to poeng og beregne variansen mellom disse to poengene.
Vi skal da beregne den totale variansen (V t ) ved å ta alle ti poengene til begge gruppene i en kolonne.
V t inneholder alle kilder til variasjon i resultatene. Tidligere har vi beregnet V b (eller mellomgruppevarians) til 1.00.
La oss nå beregne enda en varianse ved å beregne variansen til hver gruppe separat og deretter gjennomsnittlig dem.
Siden vi har beregnet avvikene separat og deretter gjennomsnittlig, kaller vi denne variansen som "innenfor gruppevarians" eller Vw .
I vårt eksempel Vw = 3, 8
Så 4, 8 (Vt) = 1, 00 (Vb) + 3, 8 ( Vw )
eller Vf = V b + V w [Total varians = mellom gruppevarians + innengruppevarians].
Grunnleggende begreper møtt med ANOVA:
Før vi tar opp numeriske problemer for å teste nullhypotesen ved å ansette ANOVA, bør vi være kjent med to konsepter, nemlig a) Summen av firkanter (SS) og (b) Frihetsgrad ( df ) som vi ofte vil møte i ANOVA.
(a) Beregning av SS (Summen av firkanter):
I ANOVA beregner vi 'mellomgruppevarians' (V b ) og 'innenfor gruppevarians' (V w ). Vi beregner V b og V w som følger:
hvor SS b = Mellom-gruppe summen av firkanter
og SS W = Innen-grupper summen av firkanter.
Vi sammenligner disse to variansene med et forhold som heter F hvor F = hvor
La oss nå lære hvordan summen av kvadrater (SS) skal beregnes gjennom to metoder.
Eksempel 3:
Beregn summen av kvadrater av følgende fordeling av score.
7, 9, 10, 6, 8
Mean = 40/5 = 8
Metode-II (kort metode):
SS kan beregnes direkte fra resultatene uten beregning av gjennomsnitt og avvik. Dette er kjent som kort metode og SS beregnes ved å bruke formelen,
Her trenger vi ikke å beregne gjennomsnittet og avvikene fra individuelle poeng fra gjennomsnittet. Den andre metoden er foretrukket når det er stort antall score og gjennomsnittet innebærer desimaler.
Dermed i ANOVA kan summen av kvadrater beregnes ved å bruke formelen.
Beregning av mellom summene av kvadrater (SS b ) og Grupper Summen av firkanter (SS W )
Følgende to metoder kan benyttes til å beregne SS t, SS b og SS w .
Eksempel 4:
To forskjellige behandlinger manipuleres på to grupper med fem fag hver.
Og de oppnådde resultatene er som følger:
La "Grand Mean" (dvs. gjennomsnittet av alle de ti poengene) betegnes som M
Nå M = 35 + 25/10 = 60/10 = 6
Beregning av SS t, SS b og SS w (Long Method):
Beregning av SS t :
For å beregne SS t må vi finne ut summen av kvadrater av avviket i hvert av de ovennevnte ti poeng fra det store gjennomsnittet (dvs. 6)
Beregning av SS b :
For å beregne SS b antar vi at hvert element i gruppen er lik gruppens gjennomsnitt og deretter studerer variansen mellom forskjellige grupper. Her skal vi beregne summen av kvadratet av avviket fra middel til forskjellige grupper fra det store middelet.
Verdien av hvert element i gruppe-I er tatt til å være 7 og verdien av hvert element i gruppen - II er antatt å være 5 og summen av kvadrater av disse verdiene fra grand mean (M = 6) vil bli beregnet.
Vi kan beregne SS b i en tabellform som følger:
Beregning av SS w :
For beregning av SS W skal vi finne ut summen av kvadrater av avviket til ulike score i en gruppe fra gjennomsnittet av de respektive gruppene.
Beregningen av SS W presenteres i tabellform:
Sum summen av firkanter eller SS W = 10 + 6 = 16
I beregningen ovenfor har vi funnet SS t, = 26, SS b, = 10 og SS W = 16
Dermed er SS t = SS b + SS w
Beregning av SS t, SS b og SS w (Kort metode):
Kort sagt metoden kan vi enkelt beregne SS t SS b og SS W direkte fra resultatene ved å bruke følgende tre formler.
I denne korte metoden trenger vi ikke å beregne gjennomsnitt og avvik. Vi kan beregne forskjellige avvik direkte fra resultatene. I ANOVA, SS t og SS b beregnes vanligvis ved den korte metoden.
Mens du tar opp problemer på ANOVA, skal vi beregne SS og SS t ved denne korte metoden.
(b) Frihetsgrader (df):
Hver SS blir en varians når den deles av grader av frihet ( df ) tildelt den. I ANOVA ville vi komme over med grader av frihet ( df ). Antall grader av frihet for hver varians er en mindre enn V som den er basert på.
Hvis N = Antall score i alt og K = Antall kategorier eller grupper, har vi for det generelle tilfellet at:
df for totalt SS = (N - 1)
df for mellom grupper SS = (K - 1)
df for innenfor grupper SS = (N - K)
Også:
(N - 1) = (N - K) + (K - 1)
Variansanalyse (én måte):
Separat har vi diskutert om tester av betydning av forskjell mellom midler. Vanligvis er t-test ansatt når vi vil avgjøre om de to prøveinnretningene avviker vesentlig.
Når vi er opptatt av eksperimentene som involverer to grupper, kan vi teste om de to midlene er vesentlige ved å benytte t-test.
Men t-test er ikke tilstrekkelig når mer enn to måter skal sammenlignes. For eksempel er det fire midler på fire grupper. For å teste om disse fire måtene skiller seg vesentlig fra hverandre, må vi lage seks t-tester.
Hvis de fire midlene er M 1, M 2, M 3, M 4, må vi sammenligne forskjellen mellom M 1 og M 2 dvs (M 1 - M 2 ), mellom M 1 og M 3 dvs (M 1 - M 3 ) mellom M 1 og M 4 dvs (M 1 - M 4 ), mellom M 2 og M 3 dvs (M 2 - M 3 ), mellom M 2 og M 4 dvs (M 2 - M 4 ) mellom M 3 og M 4 dvs. (M 3 - M 4 ). Tilsvarende for 10 betyr at vi må lage 45 t-tester.
For K betyr det at vi må lage K (K - 1) / 2 t-tester, og dette vil innebære mer beregning og arbeidskraft. Men ved å bruke F-test gjennom ANOVA kan vi vurdere betydningen av forskjell på tre eller flere enn tre midler på en gang.
Forutsetninger som en F-test hviler på:
Som vanlig er en statistisk avgjørelse lyd i den grad at visse forutsetninger er oppfylt i dataene som brukes.
I ANOVA er det vanligvis fire krav:
1. Prøvetaking i sett skal være tilfeldig. De ulike behandlingsgruppene er valgt tilfeldig fra populasjonen.
2. Avvikene fra de forskjellige settene må være omtrent like. Dette refererer til antagelse om homogenitet av varians, dvs. gruppene er homogene i variabilitet.
3. Observasjoner innenfor eksperimentelt homogene sett bør være fra normalt distribuert populasjon.
4. Bidrag til total varians må være additiv.
A. Vi vil ta opp noen eksempler og se hvordan varians analyseres når grupper er uavhengige:
Eksempel 5:
I en eksperimentell oppstilling blir 16 fag tilfeldig tildelt to grupper på 8 fag hver. Disse to gruppene ble behandlet med to forskjellige undervisningsmetoder. Test betydningen av forskjellen mellom prøveinnretningen.
Løsning:
Grand Total (dvs. totalt alle 16 score) = 104 eller ΣX = 104
Grand gjennomsnitt (M) dvs. Middel av alle de 16 resultatene = ΣX / N = 104/16 = 6, 5
For beregning av F-forhold må vi følge trinnene som er angitt nedenfor:
Trinn 1:
Summen av alle de 16 resultatene er 44 + 60 eller 104; og korrigeringen (C) er følgelig,
Steg 2:
Når hver poengsum for begge gruppene er kvadrert og oppsummert, kommer ΣX 2 til å være (ΣX 1 2 + ΣX 2 2 = 260 + 460) 720.
Deretter trekkes korreksjonen 676 fra total ved å bruke formelen:
Totalt SS eller SS 1 = ΣX 2 - C = 720 - 676 = 44.
eller, SS t = 3 2 + 4 2 + 5 2 + ...... .. + 9 2 - 676 = 44
Trinn 3:
Summen av firkanter mellom middel SS b er funnet ved å kvadrere summen av hver kolonne, dividere den første og andre med 8 separat og subtrahere C.
Mellom gruppe SS eller SS b
Trinn 4:
SS innenfor (eller SS W ) er forskjellen mellom SS t og SS b . Dermed er SS W = 44-16 = 28.
Trinn 5:
Siden det er 16 poeng i alle
Tolkning av F-forhold:
Variasjonsforholdet eller F er 16/2 eller 8. Df for mellom betyr 1 og df for innenfor grupper er 14. Inntasting Tabell F med disse df leser vi i kolonne 1 og rad 14 at .05-nivået er 4, 60 og .01-nivået er 8, 86. Vårt beregnede F er signifikant på .05 nivå.
Men det er ikke signifikant på .01-nivå. Eller med andre ord er den observerte verdien av F større enn .05 nivåverdien, men mindre enn .01 nivåverdien. Derfor konkluderer vi at den gjennomsnittlige forskjellen er signifikant på .05 nivå, men ikke signifikant ved .01-nivå av betydning.
Eksempel 6:
(Når størrelsen på gruppene er ulik) En interessetest administreres til 6 gutter i en yrkesopplæringsklasse og til 10 gutter i en latinsklasse.
Er den betydelige forskjellen mellom de to gruppene signifikant på .05 nivå? Test betydningen av forskjell gjennom ANOVA.
Tolkning av F-forhold:
Variasjonsforholdet eller F er 135/33 eller 4, 09. Df for mellom betyr er 1 og df for innenfor grupper er 14. Inntasting Tabell F med disse df er vi leser i kolonne 1 og rad 14 at .05-nivået er 4, 60 og .01-nivået er 8, 86. Vår beregnede F på 4, 09 når ikke helt til .05-nivået, slik at vår betydelige forskjell på 6 poeng må betraktes som ikke signifikant. Derfor er null hypotesen akseptert.
Når det bare er to måter å sammenligne, som her; F = t 2 eller t = = F og de to testene (F og t) gir nøyaktig samme resultat. For eksempelet ovenfor √F = √4.09 = 2.02. Fra tabellen D fant vi at for 14 df er .05-nivået av betydning for denne t 2, 14.
Vår t på 2, 02 når ikke helt til dette nivået og dermed (som F) er ikke signifikant.
Eksempel 7:
(Mer enn to grupper)
Påfør ANOVA for å teste om middelene til fire grupper er forskjellig vesentlig:
Siden det er 20 poeng i fire grupper:
df for totalt SS (eller SS 1 ) = (N - 1) eller 20 - 1 = 19
df for SS b = (K - 1) eller 4-1 = 3
df for SS w = (N - K) eller 20 - 4 = 16
F = 33, 33 / 3, 5 = 9, 52
T = √F = 3, 08
Tolkning av F-forhold:
Variasjonsforholdet eller F er 9, 52. Df for mellom betyr 3 og df for innenfor grupper er 16. Inntasting Tabell F med disse df s leser vi kolonne 3 og rad 16 at .05 nivået er 3, 24 og .01-nivået er 5, 29.
Våre beregnede F på 9, 52 er mer enn 5, 29. Derfor er F signifikant. Nulhypotesen avvises med en konklusjon at de fire midlene er vesentlige forskjellig på 01-nivå.
(B) Vi vil ta opp et annet eksempel ved å analysere variansen når den samme gruppen måles mer enn en gang dvs. i tilfelle korrelerte grupper:
Når en test er gitt og gjentas, kan variansanalysen brukes til å avgjøre om den gjennomsnittlige forandringen er signifikant, dvs. forskjellens betydning mellom midler oppnådd fra korrelerte grupper.
Eksempel 8:
(For korrelerte grupper)
Fem emner blir gitt 4 påfølgende prøver ved en siffer-symboltest, hvorav bare resultatene for forsøk 1 og 4 vises. Er gjennomsnittlig gevinst fra første til siste prøve betydelig.
Prosedyrene for variansanalyse er for tiden forskjellig på minst to måter fra metodene som er diskutert ovenfor.
For det første, siden det er mulighet for korrelasjon mellom scoreene oppnådd av de 5 fagene i første og fjerde forsøk, bør de to settene ikke i utgangspunktet behandles som uavhengige (tilfeldige) prøver.
For det andre er klassifisering nå i form av to kriterier: (a) studier og (b) fag.
På grunn av disse to kriteriene må den totale SS være delt inn i tre deler:
(a) SS tilskrives forsøk;
(b) SS tilskrives fag; og
(c) En gjenværende SS kalles vanligvis "interaksjon"
Trinn i beregningen av disse tre variansene kan oppsummeres som følger:
Trinn 1:
Korreksjon (C). Som i tidligere prosedyre, C = (ΣX) 2 / N. I eksempelet ovenfor er C 90 2/10 eller 810.
Steg 2:
Sum sum av firkanter. Igjen gjentar beregningen prosedyren anvendt i eksempel 1, 2 og 3.
Totalt SS eller SS t = 7 2 + 8 2 + 4 2 + 6 2 + 5 2 + 10 2 + 15 2 + 5 2 + 20 2 + 10 2 - C
= 1040 - 810 eller 230.
Trinn 3:
SS mellom prøvens midler. Det er to forsøk på 5 poeng hver.
Derfor,
Trinn 4:
SS blant midler av fag. En annen "mellom betyr" SS er nødvendig for å ta vare på det andre kriteriet for klassifisering. Det er 5 studenter / emner, og hver har to forsøk. Resultatene av 1. og 4. prøve av hvert fag / student blir lagt til for å få 17, 23, 9, 26, 15.
Derfor
Trinn 5:
Samspill SS. Resterende variasjon eller interaksjon er det som er igjen når de systematiske effektene av prøveforskjeller og fagforskjeller er fjernet fra total SS.
Interaksjon måler tendensen til fagprestasjon til å variere sammen med forsøk: det måler de faktorer som ikke kan tilskrives fag eller prøvelser alene, men heller å handle sammen.
Interaksjon er oppnådd må ganske enkelt ved å trekke prøver SS plus fag SS fra total SS.
Og dermed,
Interaksjon SS = SS t - (SS- emner + SS- forsøk ) = 230 - (90 + 90) = 50.
Trinn 6:
Siden det er 10 poeng i alt har vi (10 - 1) eller 9 df for totalt SS. To forsøk mottar 1 df og 5 fag, 4. De resterende 4 df er tildelt til samhandling. Regelen er at df for interaksjon er produktet av df for de to samvirkende variablene, her 1 x 4 = 4. Generelt, N = totalt antall score, r = rader og K = kolonner.
Tolkning av F-forhold:
F for forsøk er 7, 2. Den beregnede verdien av F for forsøk er mindre enn 7, 71 som vi leser i tabell F for .05 punktet når df 1 = 1 og df 2 = 4.
Dette betyr at nullhypotesen med hensyn til forsøk er holdbar og må aksepteres. Beviset er sterkt at ingen vesentlig forbedring fant sted fra prøve 1 til prøve 4.
F for emner er 1, 8 og er langt mindre enn .05 poenget med 6, 39 i tabell F for df 1 = 4 og df 2 = 4. Det er åpenbart at fagene ikke er konsekvent bedre enn andre.
Dette betyr at nullhypotesen med hensyn til fag er holdbar og må aksepteres.
Toveis ANOVA:
For å undervise i visse geometriske begreper hvis ulike læringsmetoder brukes på to eller flere enn to grupper av studenter, kaller vi det som en eksperimentell variabel.
I enveis ANOVA studeres bare en faktor (dvs. en uavhengig variabel). For eksempel, når vi vil teste om undervisningsmetoder har noen effekt på prestasjon, studerer vi effekten av en uavhengig variabel (dvs. metoder undervisning) på den avhengige variabelen (dvs. prestasjon).
Datasettene er differensiert på grunnlag av bare en eksperimentell variasjon. Det er bare ett prinsipp for klassifisering, en grunn til å adskille data i sett.
For dette la oss velge tre grupper tilfeldig og tildele tre forskjellige behandlinger, dvs. metode 1, metode 2 og metode 3 tilfeldig til disse tre gruppene.
På slutten kan prestasjonspoengene av fagene fra de tre forskjellige gruppene oppnås ved en hensiktsmessig test.
Deretter kan vi ved å bruke ANOVA teste om midlene til disse tre gruppene er vesentlige.
I en toveis klassifisering eller toveis ANOVA er det to forskjellige grunnlag for klassifisering. To eksperimentelle forhold kan variere fra gruppe til gruppe. I de psykologiske laboratoriene kan forskjellige kunstige luftfelt landingsstrimler, hver med et annet mønster av markeringer, sees gjennom en diffusjonsskjerm for å stimulere syn gjennom tåke på ulike nivåer opaqueness.
I et pedagogisk problem kan fire metoder for undervisning av et bestemt geometrisk konsept brukes av fem forskjellige lærere, hver med hver av de fire metodene. Det vil derfor være 20 kombinasjoner av lærer og metode.
Følgende tabell kan komme deg videre:
I et eksempel som er nevnt nedenfor, studeres effektene av tre undervisningsmetoder på prestasjonspoeng. Men det forventes at undervisningsmetoder vil ha annen effekt avhengig av nivået på sosioøkonomisk status (SES) av fagene.
Så kan vi designe en studie hvor effekten av to variabler, dvs. effekt av undervisningsmetoder og effekt av nivåer av sosioøkonomisk status (SES) kan studeres samtidig. I dette designet kan vi også studere interaksjonseffekten. For slike konstruksjoner benyttes teknikker for toveis ANOVA.
Eksempel 9:
Seks grupper av studenter (fem studenter i hver), er valgt tilfeldig for seks behandlingsforhold. Undersøk effekten av to faktorer, nemlig faktor A (sosioøkonomisk status) og faktor B (metoder for instruksjon) for følgende eksempel.
Løsning:
I eksempelet ovenfor har vi tatt to nivåer av SES viz., High SES i A 1 kategori og Low SES i A 2 kategori og tre undervisningsmetoder, B 1 (forelesning), B 2 (diskusjon) og B 3 spill vei).
Totalt antall behandlinger i forsøket vil være 2 x 3 = 6. Her n = 5 og det totale antall observasjoner er N = 5 x 6 = 30.
Summen totalt, ΣX = 30 + 50 + 40 + 25 + 45 + 35 = 225.
Seks forskjellige behandlingsgrupper kan presenteres i et "Interaksjonstabell", som vist nedenfor:
For tre instrukser er det tre kolonner (... c = 3). Radetallene brukes til beregning av SS for A (SES). Kolonnotallene brukes til beregning av SS for B (instruksjonsmetoder).
Trinn i beregningen av avvik kan oppsummeres som følger:
Trinn 1:
Steg 2:
Totalt SS eller SS t = ΣX 2 - C. Her er alle de tretti poengene kvadratet og lagt til og C trekkes ned.
SS t = 5 2 + 7 2 + ......... + 10 2 + 7 2 - 1687, 5 = 1919 - 1687, 5 = 231, 5
Trinn 3:
Mellom gruppe SS eller SS b = Totalt (ΣX) 2 / n for alle seks behandlingsbetingelser - C.
Trinn 4:
Innenfor grupper SS eller SS W = SS t - SS b = 231, 5 - 87, 5 = 144
Trinn 5:
Nå kan "Mellom gruppe SS" eller SS b på 87, 5 deles i tre deler, SS A, SS B og SS AB, dvs. SS b = SS A + SS B + SS AB
Hvor SS A = SS av faktor A (SES) som genererer fra avviket av A 1 og A 2, betyr fra gjennomsnittet av de totale scoreene.
SS B = SS av faktor B (metoder) generert fra avvikene til B 1, B 2 og B 3 betyr fra gjennomsnittet av de totale resultatene.
Trinn 6:
Frihetsgrader for forskjellige SS
I vårt problem har vi 6 grupper
.˙. K = 6
n = 5 og N = 6 xn = 6 x 5 = 30.
I samspilletabellen er det to rader og tre kolonner
.˙. r = 2 og C = 3.
Partisjonering av df kan gjøres på følgende måte:
df for SS t = N - 1 = 30 - 1 eller 29
df for SS b = K - 1 = 6 - 1 eller 5
df for SS W = K (n - 1) = 6 x 4 eller 24
Df Fox SS B, kan deles inn i tre deler:
(i) df for SSA = r - 1 = 2 - 1 eller 1
(ii) df for SSB = c - 1 = 3 - 1 eller 2
(iii) df for SS AB = (r - 1) (C - 1) = 1 x 2 eller 2
Nå kan vi legge inn beregningen ovenfor i en toveis ANOVA Sammendragstabell:
Tolkning av F-forhold:
(a) F for SES eller F for A
F = MS A / MS W = 7, 5 / 6, 0 = 1, 25
(.052 er mindre enn en)
Som F på 1, 25 <4, 26 ved .05 nivå beholder vi null-hypotesen om at de to gruppene som er valgt tilfeldig, ikke avviker fra prestasjonspoengene på grunnlag av sosioøkonomisk status.
Som F på 6, 67> 5, 6 ved .01-nivå, avviser vi nullhypotesen. Vi konkluderer med at de tre instruksmåter påvirker prestasjonspoengene annerledes.
Som F på 0, 00 <1 beholder vi nullhypotesen. Vi aksepterer null hypotesen om ingen interaksjon. Vi konkluderer med at effektiviteten av metodene ikke er avhengig av nivået på sosioøkonomisk status.
