Sannsynlighet: Betydning, konsept og betydning
Etter å ha lest denne artikkelen vil du lære om: - 1. Betydning av sannsynlighet 2. Ulike tankegang på begrepet sannsynlighet 3. Viktig terminologi 4. Viktighet 5. Prinsipper.
Betydning av sannsynlighet:
I vårt daglige liv er "sannsynligheten" eller "sjansen" svært vanlig. Noen ganger bruker vi å si "Sannsynligvis kan det regne i morgen", "Sannsynligvis kan Mr. X komme for å ta sin klasse i dag", "Sannsynligvis har du rett". Alle disse begrepene, mulighet og sannsynlighet gir samme betydning. Men i statistikken har sannsynligheten visse spesielle konnotasjoner i motsetning til Laymans syn.
Sannsynlighetsteorien er utviklet i 1700-tallet. Det har sin opprinnelse fra spill, kaster mynter, kaster en terning, tegner et kort fra en pakke. I 1954 hadde Antoine Gornband tatt initiativ og interesse for dette området.
Etter ham hadde mange forfattere i statistikk forsøkt å omforme ideen gitt av den førstnevnte. Sannsynligheten er blitt et av grunnleggende verktøy for statistikk. Noen ganger blir statistisk analyse paralysert uten sannsynlighetens setning. "Sannsynligheten for en gitt begivenhet er definert som forventet frekvens av forekomsten av hendelsen blant hendelser av samme type." (Garrett)
Sannsynlighetsteorien gir et middel til å få en ide om sannsynligheten for forekomst av forskjellige hendelser som følge av et tilfeldig eksperiment når det gjelder kvantitative tiltak som varierer mellom null og en. Sannsynligheten er null for en umulig hendelse og en for en hendelse som er sikker på å forekomme.
Eksempel:
Sannsynligheten for at himmelen vil falle er .00.
En person som lever nå vil en dag dø 1.00.
La oss klargjøre betydningen av sannsynlighet med et eksempel på å tegne et spillkort. Det finnes 4 varianter av kort i en pakke, og hvis disse kortene vil bli blandet tilfeldig, er sannsynligheten for å tegne en spade 13/52 = 1/4. Hvis en upartisk mynt kastes, er sannsynligheten for forekomst av hodet (H) 1/2.
Sannsynlighet som forhold:
Sannsynligheten for en hendelse oppgitt eller uttrykt matematisk kalt som et forhold. Sannsynligheten for en upartisk mynt, fallende hode er 1/2, og sannsynligheten for at en terning viser en topunkt er 1/6. Disse forholdene, kalt sannsynlighetsforhold, er definert av den brøkdelen, hvor telleren er lik det ønskede utfallet eller utfallet, og nevneren tilsvarer de totale mulige utfallene.
Mer enkelt sagt, sannsynligheten for utseendet til et hvilket som helst ansikt på en 6-ansikt (f.eks. 4 flekker) er 1/6 eller
Sannsynlighet = ønsket utfall / totalt antall resultater
Dermed er en sannsynlighet et tall eller et forhold som varierer fra 0 til 1. Null for en hendelse som ikke kan forekomme, og 1 for en hendelse, som kan oppstå.
Forskjellige skoler av tanke på begrepet sannsynlighet:
Det er forskjellige tankeskoler på begrepet sannsynlighet:
1. Klassisk sannsynlighet:
Den klassiske tilnærmingen til sannsynlighet er en av de eldste og enkleste tankegangene. Det har oppstått i 18 århundre som forklarer sannsynligheten for spill av sjanser som å kaste mynter, terninger, tegnekort etc.
Definisjonen av sannsynlighet er gitt av en fransk matematiker kalt "Laplace". Ifølge ham er sannsynligheten for forholdet mellom antall gunstige tilfeller blant antall like sannsynlige tilfeller.
Eller med andre ord, forholdet som foreslås av klassisk tilnærming er:
Pr. = Antall gunstige saker / Antall like sannsynlige tilfeller
For eksempel, hvis en mynt kastes, og hvis det blir spurt hva som er sannsynligheten for forekomsten av hodet, så er antallet av det gunstige tilfellet = 1, tallet av like sannsynlige tilfeller = 2.
Pr. av hode = 1/2
Symbolisk kan det uttrykkes som:
P = Pr. (A) = a / n, q = Pr. (B) eller (ikke A) = b / n
1 - a / n = b / n = (eller) a + b = 1 og også p + q = 1
p = 1 - q og q = 1 - p og hvis a + b = 1 så så også a / n + b / n = 1
I denne tilnærmingen varierer sannsynligheten fra 0 til 1. Når sannsynligheten er null, betyr det at det er umulig å forekomme.
Hvis sannsynligheten er 1 så er det sikkerhet for forekomsten, det vil si at hendelsen er bundet til å forekomme.
Eksempel:
Fra en pose som inneholder 20 svart og 25 hvite baller, trekkes en ball tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at den er svart.
Pr. av en svart ball = 20/45 = 4/9 = p, 25 Pr. av en hvit ball = 25/45 = 5/9 = q
p = 4/9 og q = 5/9 (p + q = 4/9 + 5/9 = 1)
demerits:
(1) Klassisk tilnærming er bare begrenset til mynter, terninger, kort osv .;
(2) Dette kan ikke forklare det faktiske resultatet i visse tilfeller;
(3) Hvis tallet av like sannsynlige tilfeller er mer, er det vanskelig å finne ut verdiene av sannsynlighetsforholdet, og
(4) Dersom antall like sannsynlige tilfeller er 00, er denne tilnærmingen utilstrekkelig.
2. Relative Frequency Theory of Sannsynlighet:
Denne tilnærmingen til sannsynlighet er en protest mot den klassiske tilnærmingen. Det indikerer at hvis n er økt opp til ∞, kan vi finne ut sannsynligheten for p eller q.
Eksempel:
Hvis n er ∞, så Pr. av A = a / n = .5, Pr. av B = b / n = 5
Hvis en hendelse oppstår en ganger ut av n, er den relative frekvensen a / n. Når n blir ∞, kalles grensen for relativ frekvens.
Pr. (A) = grense a / n
hvor n → ∞
Pr. (B) = grense bl.t. her → ∞.
Hvis det er to typer objekter blant objektene av liknende eller andre natur, så er sannsynligheten for ett objekt, dvs. Pr. av A = .5, deretter Pr. av B = .5.
demerits:
1. Denne tilnærmingen er ikke i det hele tatt en autentisk og vitenskapelig tilnærming.
2. Denne sannsynlighetens tilnærming er et udefinert konsept.
3. Denne typen sannsynlighetstilnærming, selv om den brukes i næringsliv og økonomi, er fortsatt ikke så pålitelig.
Viktig terminologi i sannsynlighet:
1. Gjensidig eksklusive hendelser:
Hendelsene er sagt å være gjensidig utelukkende når de ikke oppstår samtidig. Blant begivenhetene, hvis en hendelse vil forbli til stede i en prøveperiode, vil andre hendelser ikke vises. Med andre ord utelukker en forekomst ut av alle de andre.
For eksempel:
Hvis en jente er vakker, kan hun ikke være stygg. Hvis en ball er hvit, kan den ikke være rød. Hvis vi tar andre hendelser som død og levende, kan det sies at en person kan være enten levende eller død på et tidspunkt.
Men løgn kan ikke være både levende og død samtidig. Hvis en mynt blir kastet, vil hodet vises eller halen vises. Men begge kan ikke vises på samme tid. Det refererer til at ved å kaste en mynt kommer forekomsten av hodet og halen under gjensidig eksklusive hendelser.
Symbolisk hvis 'A' og 'B' hendelser er gjensidig eksklusiv, kan sannsynligheten for hendelser estimeres cither i P (A) eller P (B). I gjensidig eksklusive hendelser P (AB) = 0.
2. Uavhengige og avhengige hendelser:
To eller flere hendelser sies å være uavhengige når forekomsten av en prøve ikke påvirker den andre. Det indikerer det faktum at dersom en rettssak gjøres en etter en, blir en prøve ikke påvirket av den andre rettssaken. Og også en prøveperiode beskriver aldri noe om de andre forsøkene.
Eksempel:
Hendelsene i å kaste en mynt er uavhengige hendelser. Hvis en mynt kastes en etter en, blir en prøve ikke påvirket av den andre. I et forsøk kan hodet eller halen være konisk som aldri beskriver noe hva som skjer i andre rettssaken. Så den andre rettssaken er helt uavhengig av den første prøveperioden.
Avhengige hendelser er de som forekomsten og ikke-forekomsten av en hendelse i en forsøk kan påvirke forekomsten av de andre forsøkene. Her er hendelsene gjensidig avhengig av hverandre.
Eksempel:
Hvis et kort trekkes fra en pakke spillkort og ikke erstattes, blir det i 2. prøveversjon sannsynlig endret.
3. Like Liked Events:
Hendelser sies å være like sannsynlig, når det er like sjanse for å forekomme. Hvis en hendelse ikke oppstår som andre hendelser, anses hendelser ikke som like sannsynlige. Eller med andre ord sier hendelser å være like sannsynlig når en begivenhet ikke forekommer oftere enn de andre.
Eksempel:
Hvis en upartisk mynt eller terning kastes, kan hvert ansikt forventes å forekomme, er like mange i det lange løp. I et annet eksempel, i en pakke med kort, forventer vi at hvert kort skal vises like. Hvis en mynt eller terning er forspent, forventes ikke hvert ansikt å vises like.
4. Enkle og sammensatte hendelser:
Enkle hendelser. I de enkle hendelsene tenker vi på sannsynligheten for at hendelsene skjer eller ikke skjer. Når vi kaster mynten, vurderer vi hendelsene i hodet og halen. I et annet eksempel, hvis i en pose er det 10 hvite baller og 6 røde baller, og når vi prøver å finne ut sannsynligheten for å tegne en rød ball, er det inkludert i enkle hendelser.
Sammensatte hendelser:
Men på den annen side når vi vurderer felles forekomst av to eller flere hendelser, blir det sammensatte hendelser. I motsetning til enkle hendelser blir det tatt hensyn til mer enn én begivenhet.
For eksempel:
Hvis det er 10 hvite og 6 røde baller i en veske, og hvis det trekkes tre uker på hverandre, og når vi prøver å finne ut sannsynligheten for 3 baller som de hvite ballene. Dette eksempelet sier at hendelsene vurderes i mer enn to tilfelle.
Viktigheten av sannsynlighet:
Begrepet sannsynlighet er av stor betydning i hverdagen. Statistisk analyse er basert på dette verdifulle konseptet. Faktisk er rollen som sannsynligheten i moderne vitenskap spiller, det som en erstatning for sikkerhet.
Følgende diskusjon forklarer det videre:
Jeg. Sannsynlighetsteorien er veldig nyttig for å lage prediksjon. Estimater og spådommer utgjør en viktig del av forskningsundersøkelsen. Ved hjelp av statistiske metoder legger vi anslag for videre analyse. Dermed er statistiske metoder i stor grad avhengig av sannsynlighetsteorien.
ii. Det har også stor betydning i beslutningsprosessen.
iii. Det er opptatt av planlegging og kontroll og med forekomst av ulykker av alle slag.
iv. Det er et av de uadskillelige verktøyene for alle typer formelle studier som involverer usikkerhet.
v. Begrepet sannsynlighet brukes ikke bare i næringsliv og kommersielle linjer, heller enn det gjelder også for all vitenskapelig etterforskning og hverdagsliv.
vi. Før man kjenner til statistiske avgjørelsesprosedyrer, må man vite om sannsynligheten.
vii. Egenskapene til den normale sannsynligheten. Kurven er basert på sannsynlighetsteorien.
Normal Distribusjon er uten tvil den mest brukte distribusjonen for å tegne inferanser fra statistiske data på grunn av følgende årsaker:
1. Antall beviser er akkumulert for å vise at normalfordeling gir en god passform eller beskriver frekvensene for forekomst av mange variabler og fakta i (i) biologisk statistikk, f.eks. Kjønnsforhold i fødsler i et land over en rekke år, (ii) antropometriske data, f.eks. høyde, vekt, (iii) lønninger og utgang av store antall arbeidstakere i samme yrke under sammenlignbare forhold, (iv) psykologiske målinger f.eks. intelligens, reaksjonstid, justering, angst og (v) feil i observasjoner i fysikk, Kjemi og andre fysiske fag.
2. Normal distribusjon har stor verdi i evaluering og forskning i både psykologi og utdanning, når vi bruker mental måling. Det kan bemerkes at normal fordeling ikke er en faktisk fordeling av poengsum på noen test av evne eller akademisk prestasjon, men er i stedet en matematisk modell.
Fordelingen av testresultater nærmer seg den teoretiske normalfordeling som en grense, men passformen er sjelden ideell og perfekt.
Prinsipper for sannsynlighet og normal sannsynlighetskurve:
Når vi kaster en objektiv mynt, kan det falle hodet eller halen. Dermed er sannsynligheten for fallende hode 50% eller 1/2 og fallende hale er også 50% eller 1/2. Hvis vi kaster to uavhengige mynter, kan de falle på flere måter som HH (to hoder) HT (1. mynthode og 2. mynthale), TH (1. mynthale og 2. mynthodet) eller TT (to haler).
Så det er fire mulige ordninger hvis vi kaster to mynter, (a) og (b) på samme tid:
Vi har for to mynter (H + T) 2 ; og kvadrering, binomialet (H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2 .
1 H 2 1 sjanse i 4 av 2 hoder; sannsynlighetsforhold = 1/4
2 HT 2 sjanser i 4 av 1 hode og 1 hale; sannsynlighetsforhold = 1/2
1 T 2 1 sjanse i 4 av 2 haler; sannsynlighetsforhold = 1/4
Totalt = 4
Hvis vi kaster tre mynter (a), (b) og (c) samtidig, er det 8 mulige utfall:
Uttrykt som forhold, er sannsynligheten for tre hoder 1/8 (kombinasjon 1); av to hoder og en hale 3/8 (kombinasjoner 2, 3 og 4); av ett hode og to haler 3/8 (kombinasjoner 5, 6 og 7); og av tre haler 1/8 (kombinasjon 8). Summen av disse sannsynlighetsforholdene er 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 eller 1, 00.
Hvis vi har tre uavhengige faktorer som fungerer, blir uttrykket (p + q) n for tre mynter (H + T) 3 . Ved å utvide denne binomialen får vi H 3 + 3H 2 T + 3HT 2 + T 3, som kan skrives,
1 H 3 1 sjanse i 8 av 3 hoder; sannsynlighetsforhold = 1/8
3 H 2 T 3 sjanser i 8 av 2 hoder og 1 hale; sannsynlighetsforhold = 3/8
3 HT 2 3 sjanser i 8 av 1 hode og 2 haler; sannsynlighetsforhold = 3/8
1 T 3 1 sjanse i 8 av 3 haler; Sannsynlighetsforhold Totalt = 1/8
På samme måte hvis vi kaster ti mynter, og erstatter 10 for n, vil binomial ekspansjonen være
(H + T) 10 = H10 + 10H9T + 45H8T2 + 120H7T3 + 210H6T4 + 252H5T5 + 210H4T6 + 120H3T7 + 45H2T 8 + 10HT 9 + T 10 .
Utvidelsen har elleve kombinasjoner, og muligheten for forekomst av hver kombinasjon ut av total mulig forekomst uttrykkes av koeffisienten for hver kombinasjon.
Vi kan representere de ovennevnte elleve betingelsene for utvidelsen langs X-aksen på like avstander som:
Vi kan representere sjansen for forekomst av hver kombinasjon av H og T som frekvenser langs Y-aksen. Hvis vi plotter alle disse punktene og bli med dem, får vi en symmetrisk frekvenspolygon.
Hvis i binomialet (H + T) n er verdien av n ganske stor (si uendelig) ville vi ha et veldig stort antall poeng på grafen og ved å bli med dem ville vi få en perfekt jevn symmetrisk kurve. En slik jevn og symmetrisk kurve er kjent som "normal sannsynlighetskurve".
Se nøye på følgende frekvensfordeling, som en lærer oppnådd etter å ha undersøkt 150 elever i klasse IX på en matteprestasjonstest (se tabell 6.1):
Kan du finne noen spesiell trend i frekvensene som vises i kolonne 3 i tabellen ovenfor? Sannsynligvis ja! Konsentrasjonen av maksimalfrekvens ( f = 30) er ved sentralverdien av fordelingen og frekvensene avtar gradvis symmetrisk på begge sider av denne verdien. Hvis vi tegner en frekvenspolygon ved hjelp av ovennevnte fordeling, vil vi ha en kurve som vist i figur 6.1.
Formen på kurven i figuren er akkurat som en "Bell" og er symmetrisk på begge sider. Hvis du beregner verdiene for middel, median og modus, vil du oppdage at disse tre er omtrent det samme (middel = median = modus = 52).
Den "Bell" -formede kurven, teknisk kjent som Normal Sannsynlighetskurve eller bare Normalkurve og tilhørende frekvensfordeling av poeng, som har likeverdige verdier for alle tre målene med sentral tendens, er kjent som Normal Distribution.
Denne normale kurven har stor betydning i psykologisk og pedagogisk måling. Ved måling av atferdsaspekter har den normale sannsynlighetskurven ofte blitt brukt som referanse kurve.
Dermed er den normale sannsynlighetskurven en symmetrisk klokkeformet kurve. I enkelte distribusjoner har målingene eller poengene en tendens til å bli distribuert symmetrisk om deres midler. Det vil si at flertallet av tilfellene ligger midt i distribusjonen, og i svært få tilfeller ligger de ytre endene (nedre ende og øvre og).
Med andre ord, de fleste av tiltakene (score) konsentrerer seg på midtdelen av fordelingen og andre tiltak (score) begynner å synke både til høyre og venstre i like store mengder. Dette er ofte tilfellet med mange naturfenomener og med mange mentale og sosiale egenskaper.
Hvis vi tegner en best passende kurve for slik symmetrisk fordeling, vil den ha formen av en bellformet kurvesymmetrisk på begge sider av midten.
